2007 年考研数学（三） 第 21 题

求两方程组「公共解」→ 联立成一个大方程组，令其相容（$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})$）求参数并解。坑：$a=1$ 时秩降为 $2$ 有一维解系（带任意常数），$a=2$ 时唯一解，别漏含参解。

本题考查含参线性方程组的公共解。 ① 与 ② 有公共解 $\iff$ 将它们联立成方程组 ③ 后 ③ 有解。对 ③ 的增广矩阵作初等行变换。

$\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ 1& 4& a^2& 0\\ 1& 2& 1& a-1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& a-1& 0\\ 0& 0& (a-1)(a-2)& 0\\ 0& 0& 1-a& a-1\end{array}\right)$。

情形一 $a=1$：$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2<3$，公共解 $\mathbf{x}=C(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$（$C$ 任意）。情形二 $a=2$：$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=3$，唯一公共解 $\mathbf{x}=(0,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$。情形三 $a\ne 1$ 且 $a\ne 2$：$r(\mathbf{A})=3\ne r(\overline{\mathbf{A}})=4$，无公共解。故 $a=1$ 或 $a=2$。