2007 年考研数学（三） 第 22 题

已知 $\mathbf{A}$ 的谱 + 一个特征向量，求 $\mathbf{B}=g(\mathbf{A})$ → $\mathbf{B}$ 特征值 $g(\lambda )$、特征向量与 $\mathbf{A}$ 相同；实对称重构用 $\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$。坑：$g(2)=g(-2)=1$ 出现重特征值，其特征向量须与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 正交，取两个无关解。

本题考查 $f(\mathbf{A})$ 的特征值与实对称矩阵的重构。 若 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，则 $\mathbf{B}\mathbf{\alpha }=({\lambda }^5-4{\lambda }^3+1)\mathbf{\alpha }$，即 $\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{A}$ 共特征向量，特征值为 $g(\lambda )={\lambda }^5-4{\lambda }^3+1$。

（Ⅰ）$\mathbf{B}{\mathbf{\alpha }}_1=(1-4+1){\mathbf{\alpha }}_1=-2{\mathbf{\alpha }}_1$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 是 $\mathbf{B}$ 属于 ${\mu }_1=-2$ 的特征向量。又 $g(2)=32-32+1=1,g(-2)=-32+32+1=1$，故 ${\mu }_2={\mu }_3=1$。$\mathbf{B}$ 实对称，属于 $1$ 的特征向量须与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 正交：$x_1-x_2+x_3=0$，取无关解 ${\mathbf{\alpha }}_2=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。故属 $-2$ 的全部特征向量为 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1(k_1\ne 0)$，属 $1$ 的为 $k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3(k_2,k_3\text{ 不全为零})$。

（Ⅱ）$\mathbf{B}$ 在与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 正交的子空间上作用为 $1\cdot \mathbf{E}$，故 $\mathbf{B}=\mathbf{E}-3\frac{{\mathbf{\alpha }}_1{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}}{{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }}_1}=\mathbf{E}-\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$。（也可将 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 正交单位化成 $\mathbf{P}$，则 $\mathbf{B}=\mathbf{P}\mathrm{diag}(-2,1,1){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$，结果相同。）