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2007 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {2 - x - y, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

（Ⅰ）求

P {X > 2 Y}

；（Ⅱ）求

Z = X + Y

的概率密度

f_{Z} (z)

。

提示 1

（Ⅰ）积分区域

{0 < x < 1, 0 < y < 1, x > 2 y}

，先对

y

从

0

到

x /2

。

提示 2

（Ⅱ）先求

F_{Z} (z) = P {X + Y \leq z}

，按

z

落在

[0, 1)

与

[1, 2)

分段积分。

提示 3

对

F_{Z}

求导得密度，注意分段点处连续。

答案与详解

答案（Ⅰ） $P {X > 2 Y} = \frac{7}{24}$ ；（Ⅱ） $f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 z - z^{2}, (z - 2)^{2}, 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, 其他 .$

思路（为什么这么做）

求

Z = X + Y

的密度 → 分布函数法：

F_{Z} (z) = \iint_{x + y \leq z} f

按

z

分段再求导（也可卷积）。坑：区域是单位正方形，

z \in [0, 1)

与

[1, 2)

的截面形状不同，要分开积。

解答

本题考查二维连续型随机变量的概率与和的分布。（Ⅰ）在单位正方形内对

x > 2 y

的区域积分。

（Ⅰ）

P {X > 2 Y} = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x /2} (2 - x - y) d y = \int_{0}^{1} (x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{2}}{8}) d x = \int_{0}^{1} (x - \frac{5 x ^{2}}{8}) d x = \frac{1}{2} - \frac{5}{24} = \frac{7}{24}

。

（Ⅱ）用分布函数

F_{Z} (z) = P {X + Y \leq z}

分段：

z < 0

时

0

；

0 \leq z < 1

时

F_{Z} = z^{2} - \frac{z ^{3}}{3}

；

1 \leq z < 2

时

F_{Z} = \frac{z ^{3}}{3} - 2 z^{2} + 4 z - \frac{5}{3}

；

z \geq 2

时

1

。

求导得

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 z - z^{2}, z^{2} - 4 z + 4 = (z - 2)^{2}, 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, 其他 .

（可验

\int_{0}^{1} (2 z - z^{2}) d z + \int_{1}^{2} (z - 2)^{2} d z = 1

。）

考点：二维随机变量函数的分布、二维随机变量与联合分布

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