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2007 年考研数学（三）第 24 题

解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 θ}, \frac{1}{2 ( 1 - θ )}, 0, 0 < x < θ, θ \leq x < 1, 其他,

其中参数

θ (0 < θ < 1)

未知，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，

\overline{X}

是样本均值。（Ⅰ）求参数

θ

的矩估计量

\hat{θ}

；（Ⅱ）判断

4 \overline{X}^{2}

是否为

θ^{2}

的无偏估计量，并说明理由。

提示 1

（Ⅰ）算

E (X) = \frac{θ}{2} + \frac{1}{4}

，令

= \overline{X}

解出

\hat{θ}

。

提示 2

（Ⅱ）无偏即要求

E (4 \overline{X}^{2}) = θ^{2}

；用

E (4 \overline{X}^{2}) = 4 D (\overline{X}) + 4 [E (\overline{X})]^{2} = \frac{4}{n} D (X) + 4 [E (X)]^{2}

。

提示 3

需先算

E (X^{2}), D (X)

；结果含

\frac{1}{n}

余项，故

\neq = θ^{2}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $\hat{θ} = 2 \overline{X} - \frac{1}{2}$ ；（Ⅱ）由 $E (4 \overline{X}^{2}) = \frac{3 n + 1}{3 n} θ^{2} + \frac{3 n - 1}{3 n} θ + \frac{3 n + 5}{12 n} \neq = θ^{2}$ ，故 $4 \overline{X}^{2}$ 不是 $θ^{2}$ 的无偏估计量。

思路（为什么这么做）

判「

4 \overline{X}^{2}

是否

θ^{2}

的无偏估计」→ 用

E (\overline{X}^{2}) = D (\overline{X}) + [E (\overline{X})]^{2} = \frac{D ( X )}{n} + [E (X)]^{2}

算期望比对。坑：

E (\overline{X}^{2}) \neq = [E (X)]^{2}

，多出

\frac{D ( X )}{n}

，故一般有偏。

解答

本题考查矩估计与无偏性。（Ⅰ）用

E (X) = \overline{X}

反解

θ

。

E (X) = \int_{0}^{θ} \frac{x}{2 θ} d x + \int_{θ}^{1} \frac{x}{2 ( 1 - θ )} d x = \frac{θ}{4} + \frac{1 + θ}{4} = \frac{θ}{2} + \frac{1}{4}

。令

E (X) = \overline{X}

得

\hat{θ} = 2 \overline{X} - \frac{1}{2}

。

（Ⅱ）

E (4 \overline{X}^{2}) = 4 {D (\overline{X}) + [E (\overline{X})]^{2}}

。先

E (X^{2}) = \int_{0}^{θ} \frac{x ^{2}}{2 θ} d x + \int_{θ}^{1} \frac{x ^{2}}{2 ( 1 - θ )} d x = \frac{θ ^{2}}{3} + \frac{θ}{6} + \frac{1}{6}

，故

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{θ ^{2}}{12} - \frac{θ}{12} + \frac{5}{48}

。

又

E (\overline{X}) = E (X) = \frac{θ}{2} + \frac{1}{4}

，

D (\overline{X}) = \frac{D ( X )}{n}

。代入得

E (4 \overline{X}^{2}) = \frac{3 n + 1}{3 n} θ^{2} + \frac{3 n - 1}{3 n} θ + \frac{3 n + 5}{12 n} \neq = θ^{2}

，故

4 \overline{X}^{2}

不是

θ^{2}

的无偏估计量。

考点：矩估计、估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

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