2007 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 11 分

将函数

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x - 4}

展开成

x - 1

的幂级数，并指出其收敛区间。

提示 1

部分分式：

\frac{1}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{1}{5} (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1})

。

提示 2

每项凑

\frac{1}{1 \mp t}

，其中

t = \frac{x - 1}{3}

或

\frac{x - 1}{2}

，用几何级数展开。

提示 3

合并系数；收敛区间取两者交集

∣ x - 1∣ < 2

。

答案与详解

答案 $f (x) = - n = 0 \sum \infty \frac{1}{5} [\frac{1}{3 ^{n + 1}} + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}}] (x - 1)^{n}$ ，收敛区间 $(- 1, 3)$ 。

思路（为什么这么做）

有理函数展成

(x - x_{0})

幂级数 → 部分分式后每项配成

\frac{1}{1 - t}

套

\sum t^{n}

。坑：收敛半径取各项的最小者（此处

min {3, 2} = 2

，得

(- 1, 3)

）。

解答

本题考查函数展开成幂级数（部分分式 + 几何级数）。 先分解

\frac{1}{x ^{2} - 3 x - 4} = \frac{1}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{1}{5} (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1})

。

每项凑成

\frac{1}{1 - t}

型（

t

含

x - 1

）：

\frac{1}{x - 4} = - \frac{1}{3 - ( x - 1 )} = - \frac{1}{3} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x - 1}{3})^{n} = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( x - 1 ) ^{n}}{3 ^{n + 1}}

（

∣ x - 1∣ < 3

）；

\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2 + ( x - 1 )} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\frac{x - 1}{2})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} ( x - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}}

（

∣ x - 1∣ < 2

）。

于是

f (x) = \frac{1}{5} [\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}] = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{5} [\frac{1}{3 ^{n + 1}} + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}}] (x - 1)^{n}

。两收敛范围取交集

∣ x - 1∣ < 2

，即收敛区间

(- 1, 3)

。

2007 年考研数学（三） 第 20 题