2007 年考研数学（三） 第 19 题

「证 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$」→ 令 $h=f-g$，设法凑出 $h$ 的三个零点，两轮罗尔降到二阶导。坑：第一个内部零点靠「相等最大值点」构造 $h(x_1)\ge 0\ge h(x_2)$ 用零点定理。

本题考查构造辅助函数 + 零点/介值定理 + 罗尔定理。 令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 内二阶可导，且 $h(a)=h(b)=0$。

（Ⅰ）设公共最大值 $M=f(x_1)=g(x_2)$，$x_1,x_2\in (a,b)$，不妨 $x_1\le x_2$。若 $x_1=x_2$，取 $\eta =x_1$，则 $h(\eta )=M-M=0$。若 $x_1<x_2$，则 $h(x_1)=M-g(x_1)\ge 0$、$h(x_2)=f(x_2)-M\le 0$；若两端不为零则异号，由零点定理存在 $\eta \in (x_1,x_2)$ 使 $h(\eta )=0$。总之存在 $\eta \in (a,b)$ 使 $f(\eta )=g(\eta )$。

（Ⅱ）此时 $h$ 有三个零点 $a<\eta <b$。在 $[a,\eta ],[\eta ,b]$ 上分别用罗尔定理，得 ${\xi }_1\in (a,\eta ),{\xi }_2\in (\eta ,b)$ 使 $h^{\prime }({\xi }_1)=h^{\prime }({\xi }_2)=0$；再对 $h^{\prime }$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上用罗尔定理，得 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。