2007 年考研数学（三） 第 18 题

分片被积 + 菱形区域 + 含 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ → 用对称性取 $4\times$ 第一象限，环形片用极坐标（$\frac{1}{r}\cdot r=1$）。坑：$\int \frac{\mathrm{d}\theta }{\sin \theta +\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \csc (\theta +\frac{\pi }{4})\mathrm{d}\theta$，用 $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$。

本题考查分区域二重积分 + 对称性 + 极坐标。 被积函数与积分区域都关于两坐标轴对称，故积分 $=4\times$（第一象限部分）。

第一象限内 $|x|+|y|=x+y$。记 $D_1:x+y\le 1,x,y\ge 0$（此处 $f=x^2$），$D_2:1\le x+y\le 2,x,y\ge 0$（此处 $f=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$）。则 $I=4({\iint }_{D_1}{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_{D_2}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$。

${\iint }_{D_1}{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1{x}^2(1-x)\mathrm{d}x=\frac{1}{12}$。对 $D_2$ 用极坐标（$\frac{1}{r}\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，直线 $x+y=c$ 化为 $r=\frac{c}{\sin \theta +\cos \theta }$）：${\iint }_{D_2}={\int }_0^{\pi /2}{\int }_{1/(\sin \theta +\cos \theta )}^{2/(\sin \theta +\cos \theta )}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta ={\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sin \theta +\cos \theta }=\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2})$。

故 $I=4(\frac{1}{12}+\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2}))=\frac{1}{3}+4\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2})$。