2007 年考研数学（三） 第 17 题

「隐函数在某点凹凸性」→ 隐式求 $y^{\prime }$ 再求 $y^{\prime \prime }$，代该点看符号；$y^{\prime \prime }<0$ 上凸、$y^{\prime \prime }>0$ 下凸。坑：求 $y^{\prime \prime }$ 时 $\ln y$ 求导含 $\frac{y^{\prime }}{y}$ 别漏；先算出该点 $y,y^{\prime }$ 再代。

本题考查隐函数求导与凹凸性判定。 先由方程隐式求 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$，再看 $(1,1)$ 处 $y^{\prime \prime }$ 的符号。注意 $x=1$ 时由方程得 $y=1$。

对 $y\ln y-x+y=0$ 两边关于 $x$ 求导：$y^{\prime }\ln y+y^{\prime }-1+y^{\prime }=0$，即 $y^{\prime }(\ln y+2)=1$，$y^{\prime }=\frac{1}{2+\ln y}$。

再求导：$y^{\prime \prime }=-\frac{1}{(2+\ln y{)}^2}\cdot \frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{1}{y(2+\ln y{)}^3}$。代入 $(1,1)$：$y^{\prime \prime }(1)=-\frac{1}{1\cdot 2^3}=-\frac{1}{8}<0$。由 $y^{\prime \prime }$ 连续及保号性，$(1,1)$ 附近 $y^{\prime \prime }<0$，故曲线上凸（凹向下）。