2007 年考研数学（三） 第 16 题

「区间内取两数 + 差/和的条件概率」→ 单位正方形几何概型，用面积比。坑：目标区域夹在 $y=x\pm \frac{1}{2}$ 之间，算补集两三角形更快。

本题考查几何概型。 设两数为 $X,Y$，$(X,Y)$ 在单位正方形 $(0,1)\times (0,1)$ 上均匀分布，所求 $=$ 区域 $\{|x-y|<\frac{1}{2}\}$ 的面积。

补集 $\{|x-y|\ge \frac{1}{2}\}$ 是两个直角边为 $\frac{1}{2}$ 的三角形，面积各 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，共 $\frac{1}{4}$。

故所求概率 $=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。