2007 年考研数学（三） 第 15 题

求幂零位移矩阵的幂的秩 → 直接乘几次，观察非零次对角线右移，非零元个数即秩。坑：$4$ 阶此类矩阵 ${\mathbf{A}}^4=\mathbf{O}$，但 $r({\mathbf{A}}^3)=1$ 而非 $0$。

本题考查矩阵幂与秩。 $\mathbf{A}$ 是「上移一位」的幂零矩阵，每乘一次 $\mathbf{A}$，非零的次对角线右移一列。

${\mathbf{A}}^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，${\mathbf{A}}^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。

${\mathbf{A}}^3$ 只有 $1$ 个非零行，故 $r({\mathbf{A}}^3)=1$。