2007 年考研数学（三） 第 14 题

$y^{\prime }=g(\frac{y}{x})$ 型 → 令 $u=\frac{y}{x}$ 化可分离变量。坑：回代后 $\frac{1}{u^2}=\frac{x^2}{y^2}$，开方取正根（由 $y(1)=1>0$），并注明定义域 $\ln x+1>0$。

本题考查齐次微分方程（右端仅含 $\frac{y}{x}$）。 令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux,y^{\prime }=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

代入得 $u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u-\frac{1}{2}{u}^3$，即 $-\frac{2}{u^3}\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，两边积分得 $\frac{1}{u^2}=\ln x+C$。

由 $x=1,u=1$ 得 $C=1$，故 $\frac{x^2}{y^2}=\ln x+1$，解出 $y=\frac{x}{\sqrt{\ln x+1}}$（取正根，定义域 $x>{\mathrm{e}}^{-1}$）。