2007 年考研数学（三）第 13 题

填空题 · 4 分

设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

______.

提示 1

设中间变量

u = \frac{y}{x}, v = \frac{x}{y}

，分别求

u, v

对

x, y

的偏导。

提示 2

链式法则写出

z_{x}, z_{y}

。

提示 3

代入

x z_{x} - y z_{y}

合并同类项（

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

系数各翻倍）。

答案与详解

答案 $- \frac{2 y}{x} f_{1}^{'} + \frac{2 x}{y} f_{2}^{'}$

思路（为什么这么做）

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

求

x z_{x} - y z_{y}

→ 设

u, v

用链式法则，最后按

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

归并。坑：

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{x}) = - \frac{y}{x ^{2}}

、

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{y}) = \frac{1}{y}

，符号与位置别错。

解答

本题考查多元复合函数求偏导（链式法则）。 记

u = \frac{y}{x}, v = \frac{x}{y}

，

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

。

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot (- \frac{y}{x ^{2}}) + f_{2}^{'} \cdot \frac{1}{y}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot \frac{1}{x} + f_{2}^{'} \cdot (- \frac{x}{y ^{2}})

。

代入：

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = (- \frac{y}{x} f_{1}^{'} + \frac{x}{y} f_{2}^{'}) - (\frac{y}{x} f_{1}^{'} - \frac{x}{y} f_{2}^{'}) = - \frac{2 y}{x} f_{1}^{'} + \frac{2 x}{y} f_{2}^{'}

。

2007 年考研数学（三） 第 13 题