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2007 年考研数学（三）第 12 题

填空题 · 4 分

设函数

y = \frac{1}{2 x + 3}

，则

y^{(n)} (0) =

______.

提示 1

写成

y = (2 x + 3)^{- 1}

，对幂函数反复求导。

提示 2

每求一阶：指数减

1

、乘出

- 1

、乘内层导数

2

，并累积阶乘因子。

提示 3

得

y^{(n)} = (- 1)^{n} 2^{n} n! (2 x + 3)^{- (n + 1)}

，令

x = 0

。

答案与详解

答案 $\frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} n !}{3 ^{n + 1}}$

思路（为什么这么做）

求

\frac{1}{a x + b}

型的

n

阶导 → 套公式

(\frac{1}{a x + b})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} a ^{n} n !}{( a x + b ) ^{n + 1}}

。坑：别漏内层导数

a = 2

的

n

次方与

n!

。

解答

本题考查 $n$ 阶导数（幂函数复合的求导规律）。

y = (2 x + 3)^{- 1}

，逐次求导每次多出因子

(- 1) \cdot 2 \cdot (当前幂次)

。

归纳得

y^{(n)} = (- 1)^{n} 2^{n} n! (2 x + 3)^{- (n + 1)}

。

代入

x = 0

：

y^{(n)} (0) = \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} n !}{3 ^{n + 1}}

。

考点：高阶导数、函数展开成幂级数与幂级数求和

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