2007 年考研数学（三） 第 11 题

见「$x\to +\infty$ 的分式 $\times$ 振荡三角」→ 证分式为无穷小，再用三角项有界，得极限 $0$。坑：$\sin x+\cos x$ 无极限但有界，不能对整体用洛必达，要拆成「有界 $\times$ 无穷小」。

本题考查「无穷小 $\times$ 有界量 $=$ 无穷小」。 先证前一分式为无穷小，再用 $|\sin x+\cos x|\le \sqrt{2}$ 有界。

分式：分母含指数 $2^x$，$x\to +\infty$ 时指数增长快于任意多项式，故 $\frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}\to 0$（可连用洛必达三次，或直接比较增长阶）。

又 $|\sin x+\cos x|=|\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})|\le \sqrt{2}$ 有界，有界量乘无穷小仍为无穷小，故乘积 $\to 0$。填 $0$。