2007 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 4 分

设随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布，且

X

与

Y

不相关，

f_{X} (x), f_{Y} (y)

分别表示

X, Y

的概率密度，则在

Y = y

的条件下，

X

的条件概率密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

为（　　）

提示 1

二维正态下「不相关」与「独立」等价——这是本题关键。

提示 2

独立时联合密度

=

边缘密度之积。

提示 3

代入条件密度公式

f_{X ∣ Y} = f (x, y) / f_{Y} (y)

，约去

f_{Y} (y)

。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

二维正态 + 不相关 → 立即得独立，条件密度退化为边缘密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = f_{X} (x)

。坑：一般分布「不相关」不等于「独立」，唯二维正态成立。

解答

本题考查二维正态分布中「不相关 $\Leftrightarrow$ 独立」及条件密度。 对二维正态，

X, Y

不相关等价于独立。

独立

\Rightarrow f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

。

故

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} = \frac{f _{X} ( x ) f _{Y} ( y )}{f _{Y} ( y )} = f_{X} (x)

，选 A。

2007 年考研数学（三） 第 10 题