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2006 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 13 分

设

4

维向量组

α_{1} = (1 + a, 1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (2, 2 + a, 2, 2)^{T}

，

α_{3} = (3, 3, 3 + a, 3)^{T}

，

α_{4} = (4, 4, 4, 4 + a)^{T}

，问

a

为何值时，

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关？当

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

提示 1

4

个

4

维向量相关

⟺

它们排成的行列式

= 0

。

提示 2

用「各行（列）加到某行」技巧算出

∣ \cdot ∣ = a^{3} (a + 10)

。

提示 3

a = 0

各列成比例；

a = - 10

行阶梯化求秩并回代出

α_{4}

的表示。

答案与详解

答案当 $a = 0$ 或 $a = - 10$ 时线性相关。 $a = 0$ 时极大无关组为 $α_{1}$ ，且 $α_{2} = 2 α_{1}, α_{3} = 3 α_{1}, α_{4} = 4 α_{1}$ ； $a = - 10$ 时极大无关组为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ ，且 $α_{4} = - α_{1} - α_{2} - α_{3}$ 。

思路（为什么这么做）

向量个数 = 维数判相关 → 直接算方阵行列式令其为零（含参数用「各列求和提公因子」化简）。求极大无关组与表示则把向量并成矩阵行最简。坑：不同参数值对应不同秩（这里

a = 0

秩

1

、

a = - 10

秩

3

），要分别讨论。

解答

本题考查向量组线性相关的判定（个数 = 维数时用行列式）。

4

个

4

维向量线性相关

⟺ ∣ α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4} ∣ = 0

。计算

1 + a 111 2 2 + a 22 33 3 + a 3 444 4 + a = a^{3} (a + 10)

。故

a = 0

或

a = - 10

时线性相关。

当 $a = 0$ ： 各列成比例，

α_{1} = (1, 1, 1, 1)^{T}

，

α_{2} = 2 α_{1}, α_{3} = 3 α_{1}, α_{4} = 4 α_{1}

。极大线性无关组为

α_{1}

。

当 $a = - 10$ ： 对

(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

作初等行变换化为

100001000010 - 1 - 1 - 1 0

，秩为

3

。取

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为极大线性无关组，且

α_{4} = - α_{1} - α_{2} - α_{3}

。

考点：向量组的线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、行列式的计算

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