2006 年考研数学（三） 第 19 题

分母含 $n(2n-1)$ 的幂级数求和 → 提 $x$ 后逐项求导两次，把分母消成几何级数 $\frac{2}{1+x^2}$，再两次积分回代（初值 $0$）。坑：端点收敛需单独验证；求导后别忘先定 $S_1(0),S_1^{\prime }(0)$ 作积分下限。

（一）收敛域。 视为关于 $x^2$ 的幂级数，由比值法 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 得收敛半径 $R=1$。端点 $x=\pm 1$ 时 $\sum \frac{1}{n(2n-1)}$ 收敛（与 $\sum \frac{1}{n^2}$ 同敛散），故收敛域为 $[-1,1]$。

（二）和函数。 提出一个 $x$：$S(x)=x{S}_1(x)$，$S_1(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n}}{n(2n-1)}$，$S_1(0)=0$。逐项求导 $S_1^{\prime }(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n-1}}{2n-1}$，$S_1^{\prime }(0)=0$。

再求导 $S_1^{\prime \prime }(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^{2n-2}=\frac{2}{1+x^2}$。故 $S_1^{\prime }(x)={\int }_0^x\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t=2\arctan x$。

再积分 $S_1(x)={\int }_0^{x}2\arctan t\mathrm{d}t=2x\arctan x-\ln (1+x^2)$。于是 $S(x)=x{S}_1(x)=2x^2\arctan x-x\ln (1+x^2)(-1\le x\le 1)$。