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2006 年考研数学（三）第 18 题

解答题 · 8 分

在

x O y

坐标平面上，连续曲线

L

过点

M (1, 0)

，其上任意点

P (x, y) (x \neq = 0)

处的切线斜率与直线

O P

的斜率之差等于

a x

（常数

a > 0

）.（Ⅰ）求

L

的方程；（Ⅱ）当

L

与直线

y = a x

所围成平面图形的面积为

\frac{8}{3}

时，确定

a

的值.

提示 1

「切线斜率

-

O P

斜率

= a x

」即

y^{'} - \frac{y}{x} = a x

，一阶线性方程。

提示 2

用积分因子

1/ x

或直接凑

(y / x)^{'} = a

求通解，再用过点

M (1, 0)

定常数。

提示 3

求

L

与

y = a x

交点

x = 0, 2

，面积

\int_{0}^{2} [a x - (a x^{2} - a x)] d x = \frac{4 a}{3}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $y = a x^{2} - a x$ ；（Ⅱ） $a = 2$

思路（为什么这么做）

几何条件（切线/割线斜率）→ 翻译成一阶线性 ODE

y^{'} - \frac{y}{x} = a x

，凑全导数

(y / x)^{'}

最快；面积那问先求交点定限，被积取「上减下」。坑：过定点

M (1, 0)

用来定积分常数

C

。

解答

（Ⅰ）由几何条件列一阶线性微分方程。 切线斜率为

y^{'}

，直线

O P

斜率为

\frac{y}{x}

，依题意

y^{'} - \frac{y}{x} = a x

。

这是一阶线性方程，积分因子

e^{- \int \frac{1}{x} d x} = \frac{1}{x}

：

(\frac{y}{x})^{'} = a

，积分得

\frac{y}{x} = a x + C

，即

y = a x^{2} + C x

。由

y (1) = 0

得

a + C = 0

，

C = - a

，故

L : y = a x^{2} - a x

。

（Ⅱ）求 $L$ 与 $y = a x$ 围成面积并解 $a$ 。 交点：

a x = a x^{2} - a x \Rightarrow a x^{2} = 2 a x \Rightarrow x = 0

或

x = 2

。在

[0, 2]

上

a x \geq a x^{2} - a x

，面积

S = \int_{0}^{2} [a x - (a x^{2} - a x)] d x = a \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = a [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{4 a}{3}

。

令

\frac{4 a}{3} = \frac{8}{3}

，得

a = 2

。

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）、定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）

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