2006 年考研数学（三） 第 17 题

证「关于两常数 $a,b$ 的不等式」→ 把一个常数换成 $x$ 构造辅助函数，转化为单调性。若 $F^{\prime }$ 符号难判，再对 $F^{\prime }$ 求导、借助端点值（如 $F^{\prime }(\pi )=0$）定号。坑：$F^{\prime }(x)=x\cos x-\sin x+\pi$ 需用二阶导 + 端点才判正。

本题考查用单调性证不等式：把待证不等式两端看成同一函数在 $b,a$ 处的值。 令 $F(x)=x\sin x+2\cos x+\pi x$，只需证 $F(x)$ 在 $(0,\pi )$ 上单调增。

求导 $F^{\prime }(x)=(\sin x+x\cos x)-2\sin x+\pi =x\cos x-\sin x+\pi$。再求 $F^{\prime \prime }(x)=(\cos x-x\sin x)-\cos x=-x\sin x$。当 $0<x<\pi$ 时 $\sin x>0$，故 $F^{\prime \prime }(x)=-x\sin x<0$，$F^{\prime }(x)$ 单调减少。

而 $F^{\prime }(\pi )=\pi \cos \pi -\sin \pi +\pi =-\pi -0+\pi =0$，$F^{\prime }$ 递减且末端为 $0$，故在 $(0,\pi )$ 上 $F^{\prime }(x)>F^{\prime }(\pi )=0$。因此 $F$ 在 $(0,\pi )$ 严格增，由 $0<a<b<\pi$ 得 $F(b)>F(a)$，即 $b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。证毕。