2006 年考研数学（三） 第 16 题

被积含 $\sqrt{y^2-xy}=\sqrt{y}\sqrt{y-x}$ → 固定 $y$、对 $x$ 凑微分 $\mathrm{d}(y^2-xy)$ 一步积出；选「先 $x$ 后 $y$」让内层是幂函数积分。坑：确定区域上下限 $0\le x\le y$。

本题考查二重积分化累次积分与合理选序。 区域 $D$：$0\le x\le y,0\le y\le 1$。先对 $x$ 积分：${\iint }_D\sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^y\sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}x$。

内层凑微分（把 $y$ 看作常数，$\mathrm{d}(y^2-xy)=-y\mathrm{d}x$）：${\int }_0^y\sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}x=-\frac{1}{y}\int \sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}(y^2-xy)=-\frac{1}{y}\cdot \frac{2}{3}(y^2-xy{)}^{3/2}{|}_0^y=\frac{2}{3y}\cdot y^3=\frac{2}{3}{y}^2$。

再积外层：${\int }_0^1\frac{2}{3}{y}^2\mathrm{d}y=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。