2006 年考研数学（三） 第 15 题

含参数极限先分项处理 $y\to \infty$（凑重要极限 $\frac{\sin t}{t}$），再对 $x\to 0^{+}$ 的 $\infty -\infty$ 通分 + 洛必达/泰勒。坑：$\arctan x\sim x$ 只能用于分母定阶，分子 $\arctan x-x$ 是高阶量，需保留 $\pi x^2$ 主项。

（Ⅰ）逐项对 $y\to +\infty$ 求极限（$x$ 视为常数）。 第一项 $\frac{y}{1+xy}\to \frac{1}{x}$。第二项中 $y\sin \frac{\pi x}{y}=\pi x\cdot \frac{\sin (\pi x/y)}{\pi x/y}\to \pi x$（重要极限 $\frac{\sin t}{t}\to 1$，$t=\pi x/y\to 0$）。

于是 $g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1-\pi x}{\arctan x}$。

（Ⅱ）$x\to 0^{+}$ 是 $\infty -\infty$，先通分。 $g(x)=\frac{\arctan x-x(1-\pi x)}{x\arctan x}=\frac{\arctan x-x+\pi x^2}{x\arctan x}$。当 $x\to 0^{+}$ 时分母 $\sim x^2$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\arctan x-x+\pi x^2}{x^2}$。

用洛必达：$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x^2}-1+2\pi x}{2x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\frac{x^2}{1+x^2}+2\pi x}{2x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(2\pi -\frac{x}{1+x^2})=\pi$。