2006 年考研数学（三） 第 14 题

正态「落在均值附近区间」的概率比较 → 标准化消去 $\mu$，概率只依赖 $1/\sigma$；方差越小越集中、概率越大。坑：结论与 $\mu$ 无关，排除 C、D。

本题考查正态分布标准化与标准正态分布函数 $\Phi$ 的单调性。 标准化 $\frac{X-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\sim N(0,1)$，得 $P\{|X-{\mu }_1|<1\}=\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-\Phi \left(-\frac{1}{{\sigma }_1}\right)=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-1$。

同理 $P\{|Y-{\mu }_2|<1\}=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)-1$。由题设 $\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)>\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)$，$\Phi$ 单调增，故 $\frac{1}{{\sigma }_1}>\frac{1}{{\sigma }_2}$，即 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。选 A。