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2006 年考研数学（三） 第 21 题
解答题 · 13 分
设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ，向量 ， 是线性方程组 的两个解.（Ⅰ）求 的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；（Ⅲ）求 及 ，其中 为 阶单位矩阵.
提示 1
「各行元素之和为 」翻译成 ，给出 。提示 2
有非零解 说明 ，且它们无关 二重。提示 3
对 的两个特征向量施密特正交化再单位化得 ； 借助 转成对角阵幂。答案与详解
答案 （Ⅰ），对应特征向量 （ 不全为零）；，对应特征向量 。（Ⅱ），。（Ⅲ），。
思路（为什么这么做）
实对称矩阵「行和为常数」→ 是特征向量、特征值 = 行和； 的解即 的特征向量。求正交矩阵须对同一重特征值的向量施密特正交化。坑：矩阵高次幂用 ，对 则对角元变 。
解答
（Ⅰ）由条件读出特征值。 各行元素之和为 即 ，故 ，特征向量 。又 是 的解，即 ，故 的特征向量含 ；二者线性无关，故 （二重），对应特征向量为 （不全为零）。
（Ⅱ）对 的 施密特正交化，再单位化。 ，；（已与前两者正交）。单位化 ，取 ，则 。
（Ⅲ）由 复原并求幂。 。而 ，，其 次幂 ，故 。
（Ⅱ）对 的 施密特正交化，再单位化。 ，；（已与前两者正交）。单位化 ，取 ，则 。
（Ⅲ）由 复原并求幂。 。而 ，，其 次幂 ，故 。