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2006 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 13 分

设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, - 1 < x < 0, 0 \leq x < 2, 其他 .

令

Y = X^{2}

，

F (x, y)

为二维随机变量

(X, Y)

的分布函数. 求：（Ⅰ）

Y

的概率密度

f_{Y} (y)

；（Ⅱ）

Cov (X, Y)

；（Ⅲ）

F (- \frac{1}{2}, 4)

提示 1

（Ⅰ）先写

F_{Y} (y) = P {- y \leq X \leq y}

，按

0 \leq y < 1

、

1 \leq y < 4

分段（注意

X \geq - 1

），再求导。

提示 2

（Ⅱ）

Y = X^{2}

使

E (Y) = E (X^{2}), E (X Y) = E (X^{3})

，直接对密度积分。

提示 3

（Ⅲ）

{X^{2} \leq 4} = {- 2 \leq X \leq 2}

，与

{X \leq - 1/2}

、支撑

[- 1, 2)

求交。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8 y}, \frac{1}{8 y}, 0, 0 < y < 1, 1 < y < 4, 其他;$ （Ⅱ） $Cov (X, Y) = \frac{2}{3}$ ；（Ⅲ） $F (- \frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{4}$

思路（为什么这么做）

Y = X^{2}

求密度 → 分布函数法

P {- y \leq X \leq y}

，按

y

是否越出支撑分段。含

X^{2}

的协方差直接用

E (X^{3}), E (X^{2})

。联合分布

F (x_{0}, y_{0})

把

Y = X^{2} \leq y_{0}

化成对

X

的区间再求交。坑：

X

支撑下界

- 1

会截断

- y

。

解答

（Ⅰ）用分布函数法求 $Y = X^{2}$ 的密度。

F_{Y} (y) = P {X^{2} \leq y}

。

y < 0

时为

0

；

0 \leq y < 1

时

F_{Y} (y) = P {- y \leq X \leq y} = \int_{- y}^{0} \frac{1}{2} d x + \int_{0}^{y} \frac{1}{4} d x = \frac{3 y}{4}

；

1 \leq y < 4

时（因

X \geq - 1

）

F_{Y} (y) = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{2} d x + \int_{0}^{y} \frac{1}{4} d x = \frac{1}{2} + \frac{y}{4}

；

y \geq 4

时为

1

。

求导得

f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8 y}, \frac{1}{8 y}, 0, 0 < y < 1, 1 < y < 4, 其他 .

（Ⅱ） $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ ，其中 $Y = X^{2}$ 。

E (X) = \int_{- 1}^{0} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{x}{4} d x = \frac{1}{4}

，

E (Y) = E (X^{2}) = \int_{- 1}^{0} \frac{x ^{2}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{x ^{2}}{4} d x = \frac{5}{6}

，

E (X Y) = E (X^{3}) = \int_{- 1}^{0} \frac{x ^{3}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{x ^{3}}{4} d x = \frac{7}{8}

。

故

Cov (X, Y) = E (X^{3}) - E (X) E (X^{2}) = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{8} - \frac{5}{24} = \frac{2}{3}

。

（Ⅲ） $F (- \frac{1}{2}, 4) = P {X \leq - \frac{1}{2}, X^{2} \leq 4}$ 。 由

X^{2} \leq 4

即

- 2 \leq X \leq 2

，与

X \leq - \frac{1}{2}

及

X \geq - 1

取交得

- 1 \leq X \leq - \frac{1}{2}

，故

F (- \frac{1}{2}, 4) = \int_{- 1}^{- 1/2} \frac{1}{2} d x = \frac{1}{4}

。

考点：随机变量函数的分布、协方差与相关系数、二维随机变量与联合分布

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