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2006 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 13 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ θ, 1 - θ, 0, 0 < x < 1, 1 \leq x < 2, 其他,

其中

θ

是未知参数

(0 < θ < 1)

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，记

N

为样本值

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

中小于

1

的个数. 求：（Ⅰ）

θ

的矩估计；（Ⅱ）

θ

的最大似然估计.

提示 1

（Ⅰ）算

E (X) = \frac{3}{2} - θ

，令其等于

\overline{X}

反解

θ

。

提示 2

（Ⅱ）每个样本落在

(0, 1)

贡献因子

θ

、落在

[1, 2)

贡献

1 - θ

，共

N

与

n - N

个。

提示 3

写

L = θ^{N} (1 - θ)^{n - N}

，取对数求导令零。

答案与详解

答案（Ⅰ） $\hat{θ} = \frac{3}{2} - \overline{X}$ ；（Ⅱ） $\hat{θ} = \frac{N}{n}$

思路（为什么这么做）

两段常值密度的点估计 → 矩估计令

E (X) = \overline{X}

；最大似然把样本按落区间数成

N, n - N

得

L = θ^{N} (1 - θ)^{n - N}

，对数求导。坑：

N

是「小于

1

的样本个数」这一统计量，MLE

\hat{θ} = N / n

恰为频率。

解答

（Ⅰ）矩估计：用样本一阶矩 $\overline{X}$ 匹配总体期望。

E (X) = \int_{0}^{1} θ x d x + \int_{1}^{2} (1 - θ) x d x = \frac{θ}{2} + \frac{3 ( 1 - θ )}{2} = \frac{3}{2} - θ

。

令

E (X) = \overline{X}

，解得矩估计量

\hat{θ} = \frac{3}{2} - \overline{X}

。

（Ⅱ）最大似然：样本中有 $N$ 个落在 $(0, 1)$ （密度 $θ$ ）， $n - N$ 个落在 $[1, 2)$ （密度 $1 - θ$ ）。 似然函数

L (θ) = θ^{N} (1 - θ)^{n - N}

，

ln L = N ln θ + (n - N) ln (1 - θ)

。

令

\frac{d}{d θ} ln L = \frac{N}{θ} - \frac{n - N}{1 - θ} = 0

，解得最大似然估计

\hat{θ} = \frac{N}{n}

。

考点：矩估计、最大似然估计

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