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2005 年考研数学（三） 第 21 题
解答题 · 13 分
设 为正定矩阵，其中 分别为 阶、 阶对称矩阵， 为 矩阵.
（Ⅰ）计算 ，其中 ；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（Ⅰ）计算 ，其中 ；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
提示 1
先说明 正定可逆（正定矩阵的顺序主子阵正定）， 对称。提示 2
按分块矩阵老实相乘，非对角块恰好被 消去，得分块对角阵。提示 3
可逆 与 合同、同正定；分块对角正定阵的每个对角块都正定。答案与详解
答案 （Ⅰ）；（Ⅱ） 为正定矩阵.
思路（为什么这么做）
出现 （ 可逆）→ 这是合同变换，保持正定/惯性指数；分块矩阵配 做「分块消元」得对角化。坑：结论 （舒尔补）正定，来自「正定阵合同后对角块正定」。
解答
本题考查分块矩阵乘法与合同变换保持正定性。 因 正定， 为其顺序主子阵，故 正定可逆， 存在且对称。
（Ⅰ），直接分块相乘：
（Ⅱ） 为实对称矩阵。因 可逆， 与 合同，而 正定，故 也正定。
正定的分块对角矩阵，其对角块都正定；由（Ⅰ）， 正是它的一个对角块，故 正定。（亦可直接验证：对任意 ，取 ，则 。）
（Ⅰ），直接分块相乘：
（Ⅱ） 为实对称矩阵。因 可逆， 与 合同，而 正定，故 也正定。
正定的分块对角矩阵，其对角块都正定；由（Ⅰ）， 正是它的一个对角块，故 正定。（亦可直接验证：对任意 ，取 ，则 。）