2005 年考研数学（三） 第 20 题

两齐次方程组「同解」→ 秩相等 + 一方的基础解系满足另一方。坑：由解代入得的 $b,c$ 可能多解，务必回代检验秩是否真正相等（$b=0,c=1$ 使 (ii) 退化为一个方程被舍）。

本题考查两个齐次线性方程组同解的条件（秩相等、解集互相包含）。 记 (i) 的系数矩阵为 $A$，(ii) 的为 $B$（$2\times 3$）。同解须 $r(A)=r(B)$。

因为 $B$ 只有两行，$r(B)\le 2<3$，故 $r(A)<3$，即 $|A|=0$。$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 1& 1& a\end{array}\right|=0$ 解得 $a=2$。

此时对 $A$ 行化简：$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 (i) 的通解 $X=C(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

同解要求 $(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 也是 (ii) 的解，代入得 $\{\begin{array}{l}-1-b+c=0\\ -2-b^2+(c+1)=0\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}b=0\\ c=1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}b=1\\ c=2\end{array}$。

当 $b=0,c=1$ 时 (ii) 化为 $x_1+x_3=0$ 单个方程（$r=1$），与 $r(A)=2$ 不符，两组不同解，舍去。故 $a=2,b=1,c=2$。