2005 年考研数学（三） 第 19 题

证「对任意 $a$ 成立的积分不等式」→ 把 $a$ 视为变量构造辅助函数 $F(a)$，求导判单调，归结到端点值。坑：$F(1)$ 常需用分部积分 $\int (fg{)}^{\prime }=fg|$ 与已知初值（此处 $f(0)=0$）算成 $0$。

本题考查用变限积分构造辅助函数 + 单调性证明积分不等式。 令 $F(a)={\int }_0^{a}g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x-f(a)g(1)$，只需证 $F(a)\ge 0$。

对 $a$ 求导（第二个积分与 $a$ 无关，导数为 $0$；第一个用变上限求导）：$F^{\prime }(a)=g(a)f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)g(1)=f^{\prime }(a)\left[g(a)-g(1)\right]$。

因 $g^{\prime }(x)\ge 0$，$g$ 单调不减，故 $g(a)\le g(1)$，即 $g(a)-g(1)\le 0$；又 $f^{\prime }(a)\ge 0$，所以 $F^{\prime }(a)\le 0$，$F$ 在 $[0,1]$ 上单调不增。

于是 $F(a)\ge F(1)={\int }_0^{1}g{f}^{\prime }\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f{g}^{\prime }\mathrm{d}x-f(1)g(1)={\int }_0^1(fg{)}^{\prime }\mathrm{d}x-f(1)g(1)=f(1)g(1)-f(0)g(0)-f(1)g(1)=0$（用 $f(0)=0$）。故 $F(a)\ge 0$，原不等式得证。