2005 年考研数学（三） 第 18 题

幂级数求和含 $\frac{1}{2n+1}$ 这类分母 → 逐项积分/求导降/升幂使之变几何级数。坑：分母 $2n+1$ 对应奇次幂，需提出或补上一个 $x$ 因子；最后别忘记 $x=0$ 单独定义 $S(0)$。

本题考查幂级数求和函数：拆项 + 逐项积分/求导 + 几何级数求和。 显然 $S(0)=0$。当 $x\ne 0$ 时拆成两个级数：$S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2n+1}-{\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{2n}$。

后者为几何级数：${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{x^2}{1-x^2}$。前者提取 $\frac{1}{x}$：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{x}{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{x}{S}_1(x)$，其中 $S_1(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$。

逐项求导：$S_1^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{x^2}{1-x^2}=-1+\frac{1}{1-x^2}$。积分并用 $S_1(0)=0$：$S_1(x)=-x+\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$。

于是 $x\ne 0$ 时 $S(x)=\frac{1}{x}{S}_1(x)-\frac{x^2}{1-x^2}=-1+\frac{1}{2x}\ln \frac{1+x}{1-x}-\frac{x^2}{1-x^2}$。注意 $-1-\frac{x^2}{1-x^2}=-\frac{1}{1-x^2}$，故 $S(x)=\frac{1}{2x}\ln \frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}$。