2005 年考研数学（三） 第 17 题

二重积分被积含 $|x^2+y^2-1|$ → 以圆分界，圆内圆外分号讨论；圆域部分转极坐标。坑：$D_2$ 形状不规则，用 ${\iint }_{D_2}={\iint }_D-{\iint }_{D_1}$ 拼接更省事。

本题考查含绝对值的二重积分：按 $x^2+y^2=1$ 把区域分块去绝对值，圆内部分用极坐标。 令 $D_1=\{x^2+y^2\le 1\}\cap D$（四分之一圆盘），$D_2=D\setminus D_1$。

在 $D_1$ 上 $x^2+y^2-1\le 0$，在 $D_2$ 上 $\ge 0$，故 ${\iint }_D|x^2+y^2-1|\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{D_2}(x^2+y^2-1)\mathrm{d}\sigma$。

配凑成整块积分：$=2{\iint }_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma +{\iint }_D(x^2+y^2-1)\mathrm{d}\sigma$。第一块用极坐标 ${\iint }_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\theta {\int }_0^1(1-r^2)r\mathrm{d}r=\frac{\pi }{8}$。

第二块直接算：${\iint }_D(x^2+y^2-1)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1{\int }_0^1(x^2+y^2-1)\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\int }_0^1\left(x^2-\frac{2}{3}\right)\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}$。故原积分 $=2\cdot \frac{\pi }{8}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3}$。