2005 年考研数学（三） 第 16 题

抽象函数 $f(y/x)$ 型求二阶偏导 → 设中间变量、严格链式法则，$f^{\prime \prime }$ 前的系数要乘上内层导数的平方。坑：组合式常设计成让 $f^{\prime \prime }$ 项相消，答案只含 $f^{\prime }$；对 $yf(x/y)$ 对 $y$ 求导别漏乘积项。

本题考查抽象复合函数的一阶、二阶偏导（链式法则）。 记 $u=\frac{y}{x},v=\frac{x}{y}$。对 $x$ 求偏导（$\partial u/\partial x=-y/x^2,\partial v/\partial x=1/y$）：

$\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)+f^{\prime }\left(\frac{x}{y}\right)$，再求二阶：$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}=\frac{2y}{x^3}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y^2}{x^4}{f}^{\prime \prime }\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{y}{f}^{\prime \prime }\left(\frac{x}{y}\right)$。

对 $y$ 求偏导（$\partial u/\partial y=1/x,\partial v/\partial y=-x/y^2$）：$\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)+f\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x}{y}{f}^{\prime }\left(\frac{x}{y}\right)$，二阶 $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=\frac{1}{x^2}{f}^{\prime \prime }\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{x}{y^2}{f}^{\prime }\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x}{y^2}{f}^{\prime }\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x^2}{y^3}{f}^{\prime \prime }\left(\frac{x}{y}\right)$。

代入组合：$x^2{g}_{xx}-y^2{g}_{yy}$ 中含 $f^{\prime \prime }(y/x)$ 与 $f^{\prime \prime }(x/y)$ 的项全部抵消，只剩 $\frac{2y}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$。故 $x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=\frac{2y}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$。