2005 年考研数学（三） 第 15 题

$\infty -\infty$ 极限 → 先通分成 $\frac{0}{0}$；分母凑等价无穷小定阶（这里 $\sim x^2$），分子用泰勒展开到同阶。坑：分子须展开到 $x^2$ 项（低于 $x^2$ 的项恰好抵消），只展开到 $x$ 会算错。

本题考查 $\infty -\infty$ 型极限：先通分转成 $\frac{0}{0}$ 型，再用泰勒展开（或洛必达）。 通分：$\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}=\frac{x(1+x)-(1-e^{-x})}{x(1-e^{-x})}=\frac{x^2+x-1+e^{-x}}{x(1-e^{-x})}$。

分母 $x(1-e^{-x})\sim x\cdot x=x^2$，故极限 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+x-1+e^{-x}}{x^2}$。

由 $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ 得分子 $x^2+x-1+e^{-x}=\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2)$。故极限 $=\frac{3/2x^2}{x^2}\to \frac{3}{2}$。