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2005 年考研数学（三）第 14 题

选择题 · 4 分

（注：本题属正态总体参数的区间估计，为现行数学三大纲考查范围之外的内容。）设一批零件的长度服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，其中

μ, σ^{2}

均未知. 现从中随机抽取

16

个零件，测得样本均值

\overset{x}{ˉ} = 20 (cm)

，样本标准差

S = 1 (cm)

，则

μ

的置信度为

0.90

的置信区间是（　　）

A $(20 - \frac{1}{4} t_{0.05} (16), 20 + \frac{1}{4} t_{0.05} (16))$ .
B $(20 - \frac{1}{4} t_{0.1} (16), 20 + \frac{1}{4} t_{0.1} (16))$ .
C $(20 - \frac{1}{4} t_{0.05} (15), 20 + \frac{1}{4} t_{0.05} (15))$ .
D $(20 - \frac{1}{4} t_{0.1} (15), 20 + \frac{1}{4} t_{0.1} (15))$ .

提示 1

σ^{2}

未知估计

μ

，用

t

分布：

T = \frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)

，自由度是

n - 1 = 15

（不是

16

）。

提示 2

置信度

0.90 \Rightarrow α = 0.1

，双侧取

t_{α /2} = t_{0.05}

。

提示 3

区间半径

= \frac{S}{n} t_{0.05} (15) = \frac{1}{4} t_{0.05} (15)

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

（超纲提示：区间估计不在现行数三大纲内）正态总体、

σ^{2}

未知估

μ

→ 用

t (n - 1)

，双侧分位数取

t_{α /2}

。坑：自由度是

n - 1

；置信度

0.9

对应

α /2 = 0.05

，别错取

t_{0.1}

。

解答

本题考查正态总体均值 $μ$ 的区间估计（ $σ^{2}$ 未知，用 $t$ 分布）。 因

σ^{2}

未知，取枢轴量

T = \frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)

，这里

n = 16

，故自由度

n - 1 = 15

。

置信度

1 - α = 0.90

，即

α = 0.10

，

\frac{α}{2} = 0.05

，故

P {- t_{0.05} (15) < T < t_{0.05} (15)} = 0.9

。

解出

μ

的置信区间为

(\overset{x}{ˉ} - \frac{S}{n} t_{0.05} (15), \overset{x}{ˉ} + \frac{S}{n} t_{0.05} (15))

。代入

\overset{x}{ˉ} = 20, S = 1, n = 4

得

(20 - \frac{1}{4} t_{0.05} (15), 20 + \frac{1}{4} t_{0.05} (15))

，选 C。

考点：正态总体样本均值与方差的分布、三大抽样分布（χ²、t、F）

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