2005 年考研数学（三） 第 13 题

「向量组经 $A$ 作用后是否线性无关」→ 用 $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$ 化到基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 上，写成矩阵右乘，无关 $⟺$ 系数行列式非零。坑：本题行列式恰为 ${\lambda }_2$，与 ${\lambda }_1$ 无关。

本题考查特征值/特征向量与线性无关性。 不同特征值对应的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。又 $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$，故 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2$。

把待考察向量组用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 表示：$({\alpha }_1,A({\alpha }_1+{\alpha }_2))=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left(\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$。

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关，${\alpha }_1,A({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ 无关 $⟺$ 系数矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ 可逆 $⟺\left|\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right|={\lambda }_2\ne 0$，选 D。