2005 年考研数学（三） 第 12 题

题目出现 $A^{\ast }$ 或代数余子式 $A_{ij}$ → 用两条性质：${\sum }_j{a}_{ij}{A}_{ij}=|A|$ 和 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。坑：$a_{ij}=A_{ij}$ 时行展开变成平方和，恰好算出 $|A|$。

本题考查伴随矩阵与代数余子式的关系。 由 $A^{\ast }=A^{\mathrm{T}}$，比较对应元素得 $a_{ij}=A_{ij}$（$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式）。

设 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=a>0$，按第一行展开：$|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=3a^2>0$。

又由 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=|A{|}^2$ 与 $A^{\ast }=A^{\mathrm{T}}$（$|A^{\ast }|=|A^{\mathrm{T}}|=|A|$），得 $|A|=|A{|}^2$，因 $|A|>0$ 故 $|A|=1$。于是 $3a^2=1$，$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$，选 A。