2005 年考研数学（三） 第 11 题

「开区间连续/有界/导数有界」的命题判真伪 → 记住开区间连续 ≠ 有界；「导数有界 ⇒ 函数有界」用拉格朗日中值定理证。坑：闭区间才有『连续必有界』，开区间不成立。

本题考查开区间上连续/有界/导数有界之间的关系（拉格朗日中值定理 + 反例）。 关键：开区间上「连续」推不出「有界」。

反例排除 A、B、D：取 $f(x)=-\frac{1}{x}$，其 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$ 在 $(0,1)$ 连续但 $f$ 无界（否定 A，同时否定 B）；取 $f(x)=\sqrt{x}$，$f$ 有界但 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在 $(0,1)$ 无界（否定 D）。

证 C 正确：设 $|f^{\prime }(x)|\le M$。由拉格朗日中值定理 $f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }(\xi )\left(x-\frac{1}{2}\right)$，故 $|f(x)|\le \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|+M\cdot \frac{1}{2}$，即 $f$ 有界。选 C。