2005 年考研数学（三） 第 10 题

求具体点是极大还是极小 → 先验证是驻点，再用 $f^{\prime \prime }$ 的符号：$f^{\prime \prime }>0$ 极小、$f^{\prime \prime }<0$ 极大。坑：$f^{\prime }(x)=x\cos x$ 化简后 $\sin x$ 相消，别漏乘积求导项。

本题考查用二阶导数判别极值。 $f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$，显然 $x=0$ 与 $x=\frac{\pi }{2}$ 都是驻点。

$f^{\prime \prime }(x)=\cos x-x\sin x$。在 $x=0$：$f^{\prime \prime }(0)=1>0$，故 $f(0)$ 为极小值；在 $x=\frac{\pi }{2}$：$f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}<0$，故 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 为极大值。

故 $f(0)$ 是极小值、$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 是极大值，选 B。