2005 年考研数学（三） 第 9 题

「$\sum a_n$ 发散但交错级数收敛」→ 用「收敛级数加括号仍收敛」直接锁定 $\sum (a_{2n-1}-a_{2n})$ 收敛。坑：加括号只保收敛不保发散；奇/偶子级数各自未必收敛（$a_n=1/n$ 反例）。

本题考查收敛级数的性质（加括号不改变收敛性）与反例排除法。 由 $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$ 收敛。

对收敛级数相邻两项加括号仍收敛：$(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots ={\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{2n-1}-a_{2n})$ 收敛，故 D 正确。

反例排除其余：取 $a_n=\frac{1}{n}$，则 $\sum a_n$ 发散、$\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ 收敛，但 $\sum a_{2n-1}$ 与 $\sum a_{2n}$ 都发散（否定 A、B），且 $a_{2n-1}+a_{2n}\sim \frac{1}{n}$ 使 $\sum (a_{2n-1}+a_{2n})$ 发散（否定 C）。故选 D。