2005 年考研数学（三） 第 8 题

同区域二重积分比大小 → 比较被积函数逐点大小即可。坑：先确认自变量都落在 $\cos$ 的单调区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$，再由单调性翻转不等号方向。

本题考查二重积分比较大小（利用被积函数在同一区域上的大小关系，不必真算积分）。 令 $t=\sqrt{x^2+y^2}\in [0,1]$。

当 $(x,y)\in D$ 时 $0\le (x^2+y^2{)}^2\le x^2+y^2\le \sqrt{x^2+y^2}\le 1<\frac{\pi }{2}$（因 $t\in [0,1]$ 时 $t^2\le t\le \sqrt{t}$）。

$\cos u$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减，故 $\cos \left[(x^2+y^2{)}^2\right]\ge \cos (x^2+y^2)\ge \cos \sqrt{x^2+y^2}$。在同一区域上被积函数越大积分越大，故 $I_3>I_2>I_1$，选 A。