2005 年考研数学（三） 第 7 题

三次函数「零点个数」问题 → 求两个极值，比较极大值·极小值与 $0$ 的关系：异号得 3 个零点，一个为 0 得 2 个零点，同号得 1 个零点。坑：这里要极大值或极小值恰等于 0。

本题考查三次函数零点个数与极值的关系。 令 $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)=0$，得驻点 $x=1,x=2$。

$x=1$ 为极大值点，极大值 $f(1)=5-a$；$x=2$ 为极小值点，极小值 $f(2)=4-a$。又 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f=+\infty$。

三次函数恰有两个不同零点 $⟺$ 极大值与极小值之一为 $0$（图像与 $x$ 轴相切于一个极值点）。即 $f(1)=0$（$a=5$）或 $f(2)=0$（$a=4$）。选项中 $a=4$ 满足，故选 B。