2005 年考研数学（三） 第 22 题

二维连续型三问 → 边缘密度对另一变量积分（积分限看区域）；$Z=2X-Y$ 用分布函数法分段；条件概率化为两个概率之比。坑：$f_Y$ 的 $x$ 下限是 $y/2$（由 $y<2x$ 反解），条件概率分子区域要按 $y=2x$ 分块。

本题考查二维连续型的边缘密度、函数分布与条件概率。 区域为三角形 $0<x<1,0<y<2x$，密度恒为 $1$。

（Ⅰ）$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\mathrm{d}y$：当 $0<x<1$ 时 $={\int }_0^{2x}1\mathrm{d}y=2x$，否则 $0$。$f_Y(y)=\int f\mathrm{d}x$：当 $0<y<2$ 时，$x$ 从 $\frac{y}{2}$ 到 $1$，$={\int }_{y/2}^{1}1\mathrm{d}x=1-\frac{y}{2}$，否则 $0$。

（Ⅱ）用分布函数法 $F_Z(z)=P\{2X-Y\le z\}$。当 $z<0$ 时 $F_Z=0$；当 $z\ge 2$ 时 $F_Z=1$；当 $0\le z<2$ 时对区域 $2x-y\le z$ 积分得 $F_Z(z)=z-\frac{z^2}{4}$。求导：$f_Z(z)=1-\frac{z}{2}(0<z<2)$，其余为 $0$。

（Ⅲ）$P\left\{Y\le \frac{1}{2}\mid X\le \frac{1}{2}\right\}=\frac{P\{X\le \frac{1}{2},Y\le \frac{1}{2}\}}{P\{X\le \frac{1}{2}\}}$。分子 $={\int }_0^{1/4}{\int }_0^{2x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x+{\int }_{1/4}^{1/2}{\int }_0^{1/2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{3}{16}$；分母 $={\int }_0^{1/2}2x\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$。故结果 $=\frac{3/16}{1/4}=\frac{3}{4}$。