设 X1,X2,⋯,Xn (n>2) 为来自总体 N(0,σ2) 的简单随机样本，其样本均值为 Xˉ. 记 Yi=Xi−Xˉ, i=1,2,⋯,n.
（Ⅰ）求 Yi 的方差 D(Yi), i=1,2,⋯,n；（Ⅱ）求 Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1,Yn)；（Ⅲ）若 c(Y1+Yn)2 是 σ2 的无偏估计量（即 E[c(Y1+Yn)2]=σ2），求常数 c.
提示 1
把 Y1=X1−Xˉ 写成各 Xi 的线性组合，用独立性 D(∑aiXi)=∑ai2σ2 求 D(Yi)。提示 2
求协方差用双线性展开 Cov(X1−Xˉ,Xn−Xˉ)，关键小结论：Cov(Xi,Xˉ)=nσ2，D(Xˉ)=nσ2。提示 3
（Ⅲ）先算 D(Y1+Yn)=D(Y1)+D(Yn)+2Cov(Y1,Yn)；因均值为 0，E[(Y1+Yn)2]=D(Y1+Yn)，令其乘 c 等于 σ2。答案与详解
答案 （Ⅰ）D(Yi)=nn−1σ2；（Ⅱ）Cov(Y1,Yn)=−nσ2；（Ⅲ）c=2n−4n.
思路（为什么这么做）
样本离差 Yi=Xi−Xˉ 的方差/协方差 → 展成 Xi 线性组合，套 Cov(Xi,Xˉ)=σ2/n。求无偏系数用 E(W2)=D(W)+[E(W)]2，这里 E(Y1+Yn)=0 故 E[(Y1+Yn)2]=D(Y1+Yn)。坑：协方差 Cov(Y1,Yn)=−σ2/n 为负。
解答
本题考查样本统计量的数字特征（方差、协方差）与无偏估计。 因 Xi∼N(0,σ2) 独立，E(Xi)=0, D(Xi)=σ2。
（Ⅰ）Y1=X1−Xˉ=(1−n1)X1−n1X2−⋯−n1Xn。由独立性 D(Y1)=(1−n1)2σ2+(n−1)n21σ2=nn−1σ2。同理 D(Yi)=nn−1σ2。
（Ⅱ）Cov(Y1,Yn)=Cov(X1−Xˉ, Xn−Xˉ)=Cov(X1,Xn)−Cov(X1,Xˉ)−Cov(Xˉ,Xn)+D(Xˉ)。利用 Cov(Xi,Xˉ)=nσ2, D(Xˉ)=nσ2, Cov(X1,Xn)=0，得 =0−nσ2−nσ2+nσ2=−nσ2。
（Ⅲ）Y1+Yn 服从正态分布，E(Y1+Yn)=0，D(Y1+Yn)=D(Y1)+D(Yn)+2Cov(Y1,Yn)=2⋅nn−1σ2−n2σ2=n2n−4σ2。故 E[(Y1+Yn)2]=D(Y1+Yn)=n2n−4σ2。由 c⋅n2n−4σ2=σ2 得 c=2n−4n。