2003 年考研数学（三） 第 6 题

看到「$\frac{1}{n}\sum g(X_i)$ 依概率收敛于?」→ 辛钦大数定律，答案就是 $E[g(X)]$。坑：这里 $g(X)=X^2$，要用 $E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2$，别只写 $[E(X){]}^2$。

本题考查辛钦大数定律：$\frac{1}{n}\sum X_i^2\stackrel{P}{\to }E(X^2)$。 因 $X_i$ 独立同分布，$X_i^2$ 也独立同分布，只需求 $E(X^2)$。

$X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，即 $E(X)=\frac{1}{2}$，$D(X)=\frac{1}{4}$。故 $E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

由辛钦大数定律，$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }E(X^2)=\frac{1}{2}$。