2003 年考研数学（三） 第 5 题

看到「随机变量加/减常数后求相关系数」→ 相关系数对平移不变（对正比例缩放也仅可能差符号）。坑：只有「乘负数」才会翻转符号，纯平移 $\rho$ 完全不变。

本题考查相关系数在「线性平移」下的不变性。 相关系数 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=0.9$。

因 $Z=X-0.4$（只平移不缩放）：$\mathrm{Cov}(Y,Z)=\mathrm{Cov}(Y,X-0.4)=\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$，且 $D(Z)=D(X)$。

于是 ${\rho }_{YZ}=\frac{\mathrm{Cov}(Y,Z)}{\sqrt{D(Y)}\sqrt{D(Z)}}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(Y)}\sqrt{D(X)}}=0.9$。