2003 年考研数学（三） 第 4 题

看到 $\mathbf{A}=\mathbf{E}+k\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 型矩阵求逆/定参数 → 用 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ 展开，核心是把 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$ 当标量提出。坑：这里 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=2a^2$（首尾两个 $a$），别漏系数 $2$。

本题考查逆矩阵的定义 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ 与含 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的矩阵运算。 关键量：${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=a^2+a^2=2a^2$（一个标量）。

$\mathbf{AB}=(\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})\left(\mathbf{E}+\frac{1}{a}\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\right)=\mathbf{E}+\left(\frac{1}{a}-1\right)\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}-\frac{1}{a}\mathbf{\alpha }({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }){\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$。

代入 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=2a^2$：$\mathbf{AB}=\mathbf{E}+\left(\frac{1}{a}-1-2a\right)\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$。令其 $=\mathbf{E}$ 需 $\frac{1}{a}-1-2a=0$，即 $2a^2+a-1=0$，$(2a-1)(a+1)=0$，$a=\frac{1}{2}$ 或 $a=-1$。由 $a<0$ 得 $a=-1$。