2003 年考研数学（三） 第 3 题

看到「分段常值函数的二重积分」→ 先定出被积非零的区域，再把积分化为「常值 × 区域面积」。坑：$g(y-x)$ 的非零条件是 $0\le y-x\le 1$（关于 $y$ 的一条斜带），该区域面积恰为 $1$。

本题考查二重积分的计算：被积函数为分段常值，关键是找出使被积函数非零的区域。 $f(x)g(y-x)\ne 0$ 需 $0\le x\le 1$ 且 $0\le y-x\le 1$。

记 $D_0=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y-x\le 1\}$，在 $D_0$ 上 $f(x)g(y-x)=a\cdot a=a^2$，其余处为 $0$。

于是 $I={\iint }_{D_0}{a}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a^2{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{x+1}\mathrm{d}y=a^2{\int }_0^{1}1\mathrm{d}x=a^2$。