2003 年考研数学（三） 第 2 题

看到「曲线与某直线相切」→ 切点处「函数值相等 + 导数(斜率)相等」两个方程联立。坑：与 $x$ 轴相切即 $y=0$ 且 $y^{\prime }=0$，最后要用 $x_0^2=a^2$ 消去 $x_0$（注意 $b^2$ 消去符号）。

本题考查「曲线与 $x$ 轴相切」的条件：在切点 $(x_0,0)$ 处同时有 $y=0$ 与 $y^{\prime }=0$。

令 $y^{\prime }=3x^2-3a^2=0$ 得 $x_0^2=a^2$；由 $y(x_0)=x_0^3-3a^2{x}_0+b=0$ 得 $b=3a^2{x}_0-x_0^3=x_0(3a^2-x_0^2)=x_0\cdot 2a^2=2a^2{x}_0$。

于是 $b^2=4a^4{x}_0^2=4a^4\cdot a^2=4a^6$。