2003 年考研数学（三） 第 1 题

看到「分段函数在分界点用定义求导 + 要求导函数连续」→ 分两关：$f^{\prime }(0)$ 存在（由 $x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}$ 极限）给一个下界，$\lim f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$（由 $x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}$ 项）给更强下界。坑：$\sin \frac{1}{x}$ 那项阶最低，决定最终范围 $\lambda >2$。

本题考查用定义求 $f^{\prime }(0)$、并要求导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。 分两关：先保证 $f^{\prime }(0)$ 存在，再保证 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$。

当 $x\ne 0$：$f^{\prime }(x)=\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}+x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}$。当 $x=0$：$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}$，要此极限存在需 $\lambda -1>0$，即 $\lambda >1$，且 $f^{\prime }(0)=0$。

再要 $f^{\prime }(x)$ 在 $0$ 连续，即 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$。其中 $x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}\to 0$ 需 $\lambda -2>0$，即 $\lambda >2$（此时 $\lambda x^{\lambda -1}\cos \frac{1}{x}$ 也 $\to 0$）。故 $\lambda \in (2,+\infty )$。