2003 年考研数学（三） 第 7 题

看到 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $0$ 处的极限、且题给 $f^{\prime }(0)$ 存在 → 立即认出这是导数定义，极限 $=f^{\prime }(0)$。坑：极限存在（有限）即「可去」间断点，不是跳跃、也不是无穷型。

本题考查间断点类型的判定，核心是把 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $x\to 0$ 的极限识别为导数定义。 $g(x)$ 在 $x=0$ 无定义，需看 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$ 是否存在。

因 $f$ 为奇函数且 $f^{\prime }(0)$ 存在，故 $f(0)=0$，于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)$，为有限值。

极限存在但该点无定义 $\Rightarrow$ $x=0$ 是可去间断点。选 D。