2003 年考研数学（三） 第 8 题

看到「可微多元函数在某点取极值，问某偏导/方向导数」→ 极值点两个一阶偏导必为零（必要条件）。坑：这只是必要条件且要求「可微」；固定一个变量后的一元导数就是对应偏导。

本题考查多元函数取极值的必要条件：可微函数在极值点处两个一阶偏导都为零。

因 $f(x,y)$ 可微且在 $(x_0,y_0)$ 取极小值，故 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。

把 $x$ 固定为 $x_0$，$f(x_0,y)$ 是关于 $y$ 的一元函数，它在 $y=y_0$ 处的导数 $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x_0,y){|}_{y=y_0}=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。选 A。